PERfectoïdes, cohomologie COmplétée, correspondance de LAnglands et cohomologie de TORsion – PerCoLaTor

1) Du côté des représentations p-adiques des groupes réductifs, pour aller au delà du cas de GL(2,Q_p), un des projets propose de construire une théorie surconvergente des (phi,Gamma)-modules de Lubin-Tate en plusieurs variables et de la relier avec la théorie de Fourier p-adique de Schneider-Teitelbaum ainsi qu'avec la construction géométrique globale de l'application de réciprocité de Tsuji.

2) On voudrait contrôler la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura en niveau infini à l'aide de la cohomologie complétée. Notamment en utilisant la filtration de Harder-Narasimhan, on propose de construire un dévissage de celle-ci.

3) Pour les familles de formes modulaires p-adiques, un projet propose d'étendre la construction d'Andreatta-Iovita-Pilloni des eigenvarieties au cas PEL sans lieu ordinaire, en utilisant la notion de mu-ordinarité. Il semble aussi possible d'aller au delà du cas PEL en utilisant les travaux récents de Kisin et Madapusi-Pera.

4) Concernant la construction de représentations galoisiennes associées à une forme automorphe algébrique, on voudrait à présent s'attaquer au cas non cohomologique en utilisant la cohomologie cohérente: l'application en vue concerne les théorèmes de modularité dans le cas non régulier.

5) Concernant les théorèmes de comparaison entre les cohomologies p-adique étales et de de Rham, les récents travaux de Scholze nous conduisent à travailler sur une version cristalline. Déglise et Niziol ont récemment introduit la notion de faisceau syntonique qui semble être le bon cadre.

1) Concernant la théorie des perfectoïdes, en utilisant la toute nouvelle théorie des diamants de Scholze, Laurent Fargues a formulé une conjecture passionnante, analogue local surprenant de la désormais classique théorie de Langlands géométrique introduite par Drinfeld et Laumon, puis développée par Frenkel, Gaitsgory et Vilonen.

2) En considérant les vecteurs localement analytiques pour l'action de Gamma à l'intérieur de certains « gros » modules définis à l'aide des anneaux de périodes de Fontaine, Laurent Berger propose une nouvelle approche de la classification des représentations galoisiennes en termes de (phi,Gamma)-modules, généralisant le cas cyclotomique et donnant la surconvergence dans l'approche Lubin-Tate pour les représentations F-analytiques.

3) En ce qui concerne la cohomologie des variétés de Shimura en niveau quelconque, en particulier infini, et les questions autour de la torsion, les travaux de Boyer aboutissent à des cas assez généraux de la conjecture d'Ihara telle qu'elle a été généralisée conjecturalement de GL(2) en dimension supérieure, par Clozel, Harris et Taylor.

4) Concernant les questions importantes de classicité, Bijakowski, Pilloni et Stroh ont poussé à leur maximum les techniques issues des séries de Kassaei et de la théorie du degré de Fargues, dans un article paru à Annals of Math et dans un ouvrage complet à Astérisque.

5) La cohomologie syntonique a été introduite afin de fournir un analogue p-adique de la cohomologie de Deligne-Beilinson. Niziol, seule et en collaboration, a récemment obtenu toute une série de résultats remarquables sur ce sujet, montrant par exemple que la cohomologie syntonique est aussi une cohomologie de Hodge absolue. Niziol a par ailleurs commencé à étudier les liens entre la cohomologie syntonique et les fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine, en lien avec les espaces de Banach-Colmez.

1) Pour donner tout son sens à la conjecture de Fargues, il faudrait développer une théorie des faisceaux pervers sur les diamants. Il s'agira ensuite de reprendre les constructions classiques de la théorie de Langlands géométrique pour essayer de les adapter aux diamants.

2) Pour ce qui touche aux questions R=T, il faudrait étudier dans un cadre non compact, la torsion dans les variétés de Shimura. L'approche de Boyer devrait pouvoir se généraliser.

3) Concernant la cohomologie syntonique, il convient à présent d'étudier ses liens avec les fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine, en lien avec les espaces de Banch-Colmez.

4) Pilloni avec Andreatta et Iovita, sont parvenus à construire des formes surconvergentes en caracté?ristique p, ce qui avait été? conjecturé? par Coleman. Il s'agit ensuite d'étudier les représentations galoisiennes associées à ces nouvelles formes dont on suppose qu'elles sont triangulines en p, en un sens à préciser.

5) Berger continue de développer sa nouvelle approche des (phi,Gamma)-modules de type Lubin-Tate, autour des questions de surconvergence.

14 articles acceptés et 35 preprints


- Pilloni Vincent, Benoit Stroh : Cohomologie cohérente et représentations galoisiennes,, à paraître dans le volume en l'honneur de Glenn Stevens, Ann. Math. Quebec.
- Pilloni Vincent, Stroh Benoit : Surconvergence, ramification et modularité, à paraître dans «Arithmétique p-adique des formes de Hilbert«, Astérisque.
3- Pilloni Vincent, Stroh Benoit et Bijakowski Stéphane : Classicité de formes modulaires surconvergentes, Annals of Mathematics 183 (2016), no. 3, p. 975-1014.


- Berger Laurent : Multivariable (f,G)-modules and locally analytic vectors, Duke Mathematical Journal, to appear
- Berger Laurent : Iterated extensions and relative Lubin-Tate groups, Ann. Math. Québec 40 (2016), no. 1, 17—28.
- Boyer Pascal : Torsion dans la cohomologie d'un système local d'Harris-Taylor Annales de l'Institut fourier 65 no. 4 (2015), p. 1669-1710
-. Brasca Riccardo : Eigenvarieties for cuspforms over PEL type Shimura varieties with dense ordinary locus. To appear in Canadian Journal of Mathematics.
5. Chenevier Gaetan Level one algebraic cuspforms of classical groups of small rank (avec D. Renard), Memoirs of the A.M.S. 1121, vol. 237, 128 p. (2015)
- Jean-François Dat. A functoriality principle for blocks of p-adic linear groups
- Jean-François Dat. Equivalences of tame blocks for p-adic linear groups
- Cédric Bonnafé, Jean-François Dat, Raphaël Rouquier. Derived categories and Deligne-Lusztig varieties II
- Fargues Laurent : Quelques résultats et conjectures concernant la courbe : A paraître dans la revue Astérisque dans les actes de la conférence en l'honneur de Gérard Laumon.
- Sandra Rozensztajn : Potentially semi-stable deformation rings for discrete series extended types, Journal de l'École Polytechnique 2 (2015), 179 -- 211
- Stroh Benoit : Mauvaise réduction au bord dans «De la géométrie algébrique aux formes automorphes (II), en l'honneur de Gérard Laumon«, Astérisque 370 (2015), 269-304.

Le programme de Langlands a connu depuis son introduction dans les années 70, des succès retentissants accompagnés d'applications arithmétiques de premier plan (grand théorème de Fermat, conjecture de Sato-Tate...). Depuis les années 2000, sous l'impulsion des travaux de C. Breuil, on suspecte l'existence d'une version p-adique de ce programme. Grâce aux travaux de Colmez, le cas de GL(2,Q_p) est désormais connu et compatible aux instances globales d'après Emerton.

Ces trois dernières années, des objets totalement nouveaux ont fait leur apparition: la courbe de Fontaine-Fargues, les espaces perfectoïdes de P. Scholze, le site pro-étale, les variétés de Shimura en niveau infini. Comme il y a vingt ans, les techniques de déformations des représentations galoisiennes de Wiles ont révolutionné l'arithmétique, nous sommes à l'aube de progrès retentissants et rapides. Ces sujets soulèvent des questions à la fois passionnantes et extrêmement difficiles qui requièrent une grande variété de compétences lesquelles sont largement couvertes par les domaines d'expertise des membres de notre groupe. Nous pouvons organiser les différentes directions de recherche selon cinq grands axes.

1) La théorie des représentations p-adiques des groupes p-adiques: l'objectif est d'aller au delà du cas GL(2,Q_p) traité par Colmez.

2) Les variétés de Shimura et les espaces de Rapoport-Zink en niveau infini: nous pensons que l'étude des espaces de Lubin-Tate en niveau infini devrait nous permettre tout d'abord d'obtenir une nouvelle démonstration du cas de GL(2,Q_p) de Colmez et, dans un deuxième temps, nous fournir de nouvelles pistes pour aborder le cas de GL(n).

3) Les familles p-adiques de formes modulaires: on voudrait d'un côté unifier les différentes constructions des variétés de Hecke et d'un autre s'attaquer aux cas des variétés de Shimura non PEL.

4) Le programme de Langlands global pour les corps de nombres: l'étude de la cohomologie cohérente devrait nous permettre d'explorer les relations entre les formes automorphes non cohomologiques et les représentations galoisiennes non régulières. Nous projetons aussi d'étudier la cohomologie complétée à l'aide du morphisme de période de Hodge-Tate et les stratifications de Harder-Narasimhan. Du côté automorphe nous comptons poursuivre notre programme sur les formes automorphes de niveau 1.

5) Théorèmes de comparaison pour la cohomologie cristalline et syntomique pour les espaces adiques.

L'école arithmétique française, depuis l'introduction du programme de Langlands jusqu'à ses derniers développements, a toujours été en pointe, que l'on pense par exemple aux preuves de la correspondance de Langlands locale par Laumon-Rapoport-Sthuler, Harris-Taylor et Henniart, aux correspondances globales pour les corps de fonctions par L. Lafforgue, aux preuves du lemme fondamental par Laumon-Ngô, Ngô et Chaudouard-Laumon, jusqu'à l'introduction du versant p-adique par Breuil et la preuve de Colmez pour GL(2,Q_p). Le but de ce projet est de perpétuer cette longue tradition de leadership en fournissant à notre groupe les moyens de développer des coopérations entre les membres du projet mais aussi avec des chercheurs étrangers, dans une thématique très prometteuse et certainement très concurrentielle.

Notre groupe est composé de chercheurs de renommée internationale, de mathématiciens prometteurs en milieu de carrière et de jeunes brillants docteurs. Comme nous pensons que ces sujets sont amenés à se développer rapidement, l'aide financière apportée par l'ANR nous est nécessaire afin d'organiser régulièrement des groupes de travail, des mini-conférences bi-annuelles sur chaque site, une grande conférence de clôture, de voyager afin d'assister aux congrès sur le sujet, d'inviter des experts étrangers pour de courts séjours, d'attirer des post-doctorants (36 mois de bourse) et finalement de convaincre les meilleurs étudiants de faire leurs thèses dans nos universités.