Géométries Non Linéaires et Applications – NoLiGeA

Le projet NoLiGeA va suivre quatre directions générales de recherche:
Décrire et comprendre les géométries non linéaires d'un espace métrique.
Décrire et comprendre l'interaction entre la structure à grande échelle et la structure à petite échelle d'un espace métrique.
Décrire et comprendre l'interaction entre la géométrie grossière et les propriétés d'expansion d'un espace métrique.
Découvrir de nouvelles applications en théorie géométrique des groupes, en géométrie non commutative et en
informatique théorique.
Approfondir les recherches dans le domaine couvert par le projet NoLiGeA est motivé par les potentielles applications
dans d'autres disciplines comme la physique quantique et l'informatique théorique.

Plusieurs résultats ont été obtenus sur la géométrie:
-du cube de Hamming
-des espaces métriques propres
-des espaces métriques stables
-des groupes de dimension asymptotique finie.

Ce projet devrait avoir un impact profond et durable dans la géométrie métrique grossière, en particulier dans la théorie géométrique des groupes et la géométrie non commutative. Jusqu'à présent, il existe très peu de techniques disponibles à qui veut plonger grossièrement des groupes dans des espaces de Banach. Malgré que le sujet soit clairement de nature métrique, la plupart des techniques sont algébrique et ad-hoc. Le projet NoLiGeA propose de reconsidérer entièrement le problème d'un point de vue novateur et purement métrique. La principale caractéristique du projet est son intersectorialité. L'introduction naturelle d'outils puissants de divers domaines des mathématiques pour étudier les propriétés géométriques des groupes et des espaces de Banach doit permettre de faire d'importants progrès vers les objectifs de recherche. En théorie géométrique des groupes, les techniques probabilistes sont loin de jouer le rôle prépondérant qu'ils ont joué en géométrie Lipschitzienne. Le projet NoLiGeA prévoit d'introduire ce concept dans une nouvelle forme qui soit adaptée pour traiter les problèmes fondamentaux de la géométrie grossière.

F. Baudier, D. Freeman, Th. Schlumprecht, and A. Zsak, The metric geometry of the Hamming cube and applications, submitted for publication, arXiv:1403.4376, 13 pages
F. Baudier and G. Lancien, Optimal embeddability of stable metric spaces, preprint, 12 pages
F. Baudier and M. Ostrovskii, On metric dimension and stochastic decompositions, in preparation.

La définition d'un espace de Banach ne nécessite que quelques notions de base en algèbre linéaire, analyse fonctionnelle et topologie. Cependant, l'analyse des propriétés géométriques de l'espace métrique associé à un espace de Banach est une tâche très difficile. Le projet à long terme du candidat est de donner une description détaillée des géométries naturelles portées par un espace de Banach, éventuellement un espace métrique, et de fournir une image claire de la relation entre ces dernières.

Il s'avère que bien comprendre comment un espace métrique peut être plongé dans un type particulier d'espace de Banach est un problème fondamental dans des domaines nombreux et variés. Il est assez remarquable que des sous-domaines fondamentaux de la physique quantique et de l'informatique théorique partagent une caractéristique commune. En effet, une description mathématique cohérente de l'espace-temps physique, à toutes les échelles et en particulier au niveau des distances ultra-petites, ou la conception d'algorithmes rapides et efficaces, reposent au niveau théorique sur une compréhension profonde des propriétés géométriques de certains espaces métriques. Les plongements métriques distordant peu les distances, des espaces métriques finis mais de grand cardinal, dans les espaces de Banach avec une géométrie (presque) Euclidienne est une pierre angulaire dans la conception d'algorithmes d'approximation efficaces. Les informaticiens ainsi que les géomètres des espaces de Banach ont été en mesure d'utiliser la quantité importante de connaissances en géométrie Lipschitzienne des espaces de Banach, étudié pour elle-même depuis le début des années 1900. Cette partie de la géométrie non linéaire des espaces de Banach a eu une nette influence sur la conception d'algorithmes rapides. Des problèmes non linéaires ont aussi été résolus en utilisant des techniques provenant de l'informatique théorique.

Dans le cadre des conjectures de Baum-Connes ou de Novikov, il y a eu un regain d'intérêt des géomètres des groupes et des topologistes concernant la géométrie grossière des espaces métriques, en particulier des groupes et des espaces de Banach. Malheureusement, contrairement à la géométrie Lipschitzienne ou la géométrie uniforme, la géométrie grossière des espaces de Banach n'avait pas été considérée en temps que telle par les géomètres des espaces de Banach jusqu'à ce qu'il devienne évident, au début des années 2000, qu'elle avait d'importantes applications. Une des raisons possibles pour ce moindre intérêt a l'époque est probablement le fait que les plongements grossiers sont très peu structuré. Ils ne sont pas nécessairement injectifs ou continus. Jusqu'à présent, ce que nous comprenons de la géométrie grossière des espaces de Banach provient principalement de ce que nous savons de la géométrie uniforme. L'une des préoccupations principale du projet NoLiGeA est de combler cette lacune et de mener une étude systématique, ambitieuse mais fascinante, des géométries non linéaires de certaines classes fondamentales d'espaces métriques.