Aspects géometriques de la théorie des jeux – GAGA

La théorie des jeux est l'étude mathématique des interactions stratégiques entre agents, que ce soient des êtres humains, des entreprises, des bactéries ou des ordinateurs. Ce sujet en plein essor trouve de nombreuses applications en économie, en sciences sociales, en informatique, en biologie de l'évolution et en ingénierie.

Un grand nombre de sujets et d'outils mathématiques liés à la théorie des jeux ont une forte composante géométrique ou topologique: la structure de l'ensemble des équilibres d'un jeu, la mise au point d'algorithmes calculant ces équilibres, la théorie de l'approchabilité de Blackwell, la caractérisation métrique de la dynamique des réplicateurs, l'utilisation de la semi-algébricité pour les jeux stochastiques, et bien d'autres. L'objectif de ce projet est d'étudier méthodiquement ces aspects géométriques en théorie des jeux et, ce faisant, d'établir de nouveaux liens entre des directions de recherche qui apparaissent encore comme indépendantes (comme les métriques Hessiennes-Riemaniennes et la théorie des choix discrets).

Nous nous focaliserons sur les problèmes suivants :
- L'étude méthodique des structures géometriques statiques apparaissant en théorie des jeux : ensembles d'équilibres et ensembles de paiements d'équilibres, o-minimalité des données définissant un jeu, jeux d'évolution sur un graphe spatial et décomposition de Hodge-de Rham de jeux de populations.
- Le développement de dynamiques et d'algorithmes géométriques pour les jeux. En particulier, la mise au point de dynamiques de jeu, du premier ou second ordre, basées sur des métriques Hessiennes-Riemanniennes, et d'autre part le développement d'algorithmes calculant la valeur ou les équilibres d'un jeu.
- Les caractéristiques géométriques de l'apprentissage séquentiel : l'approchabilité en jeux stochastiques, l'utilisation de la géométrie dans la mise au point d'algorithmes optimaux d'apprentissage, et l'examen de procédures d'apprentissage dérivées de considérations métriques.

Il faut noter qu'en plus de sa composante purement mathématique, ce projet touche un grand champ d'applications, allant de l'étude des interactions locales dans des populations de bactéries, aux problèmes d'allocations de ressources dans les grilles de calcul distribuées, en passant par l'optimisation de la transmission de signaux dans des appareils multi-antennes (smartphones, tablettes, etc).

Bien sûr, un prérequis à la réussite de ce projet est la capacité d'utiliser un large spectre d'outils mathématiques provenant aussi bien de l'analyse convexe, de l'optimisation, des probabilités et statistiques, que de la géométrie et de la topologie (sans parler des domaines d'applications du projet). Ceci dit, l'équipe est particulièrement adaptée pour faire face à ces défis: plusieurs des membres du projet ont une formation interdisciplinaire, de sorte que le spectre des compétences et des expertises de l'ensemble des partenaires satisfait largement ces besoins. En plus de son apport scientifique, ce projet permettra de renforcer encore les interactions entre ses membres et, en étant potentiellement la première ANR JCJC en théorie des jeux, de contribuer à l'essor d'une nouvelle génération de chercheurs français dans ce domaine.