Déformations iso-galoisiennes de feuilletages holomorphes – Iso-Galois

Nous proposons un projet en mathématiques pures, situé à l'intersection de la dynamique holomorphe et la géométrie différentielle, plus précisément dans l'étude géométrique de feuilletages. Dès le 19ème siècle, P. Painlevé ressentit le besoin du développement d'un tel domaine, qui de fait est né vers 1940 des recherches de C. Ehresmann et de G. Reeb. Basé essentiellement en France autour de D. Cerveau, J.-F. Mattei, R. Moussu et al et au Brésil autour de C. Camacho, A. Lins-Neto, P. Sad et al, le développement de la théorie des feuilletages holomorphes a connu une accélération dans les années 1970. Ce domaine est encore très actif aujourd'hui, avec des centres en France, en Espagne, au Brésil et au Japon. Il s'applique entre autres dans l'étude des équations différentielles, les billards, la classification de variétés, la théorie d'espaces de modules et en physique mathématique. Notre équipe de recherche réunit la génération la plus jeune de maîtres de conférences issus du domaine en France. Nous souhaitons développer la théorie des feuilletages holomorphes dans la direction de la géométrie algébrique et arithmétique, notamment vers les théories de Galois différentielle et aux différences. L'axe central de ce projet est l'étude de déformations isomonodromiques via le concept récent du groupe de Galois différentiel à paramètre et la généralisation de cette étude au contexte non-linéaire (concernant les déformations isoholonomiques) dans le cadre du pseudogroupe de Galois d'un feuilletage. Nous allons étudier de telles déformations isogaloisiennes avec un intérêt particulier pour leurs premiers exemples non triviaux, donnés par les équations de Painlevé. Ces équations sont les seules E.D.O. du second ordre satisfaisant à la propriété de Painlevé. L'étude de ces équations se nourrit d'un deuxième trait caractéristique : elles décrivent précisément les déformations d'équations différentielles linéaires qui préservent le comportement dynamique qualitatif des solutions. Dans ses célèbres «Leçons de Stockholm», P. Painlevé a posé le fondement de cette théorie moderne, qui tomba dans l'oubli jusqu'aux années 1970, où des physiciens découvrent que les solutions de la troisième équation de Painlevé permettaient de résoudre un problème de particules élémentaires (le modèle d'Ising). Les années 1970 ont également connu un intérêt mathématique nouveau pour ces équations, grâce notamment à la théorie naissante des feuilletages holomorphes et l'étude de leurs structures transverses, ainsi qu'aux progrès concernant le problème de Riemann-Hilbert et la théorie de Galois différentielle. L'étude des équations de Painlevé sous ses aspects analytiques, algébriques, dynamiques et topologiques est aujourd'hui un domaine très vif, avec des centres en France et au Japon. Durant les vingt dernières années, de plus en plus de ramifications et de résultats intéressants et variés concernant les différentes équations de Painlevé ont été trouvés. Très récemment, on observe une approche plus globale et une compréhension plus profonde du sujet, unifiant les résultats précédents. Par exemple, la longue recherche de nouvelles solutions algébriques de la sixième équation de Painlevé a culminé en 2008 avec la classification complète de ces solutions par O. Lysovvy et Y. Tykhyy. Dans notre projet, nous comptons développer une approche (globale) isogaloisienne de l'espace de modules des équations de Painlevé. Plus généralement, nous allons étudier la famille d'équations différentielles non linéaires données par les formes normales de Clarkson-Mansfield-Webster et décrire les trajectoires dans l'espace des paramètres le long desquelles la famille est isoholonomique.
Cette étude théorique sera accompagnée du développement d'outils informatiques innovatifs permettant d'effectuer des calculs effectifs par ordinateur. Ces nouvelles techniques nous permettront de produire un film illustrant des propriétés diverses de feuilletages holomorphes en dimension 2.