Robustesse, Automatisation et Fiabilité des Formulations INtégrales en propagation d'ondes : Estimateurs a posteriori et adaptativité – RAFFINE

Pour les méthodes d’éléments finis de volume, la question de l’estimation d’erreur a posteriori a donné lieu à un acquis théorique important et des outils d’adaptativité (optimisation du maillage pour obtenir une précision donnée à coût de calcul minimal) ayant largement fait leurs preuves. Pour les équations intégrales, le cadre théorique est moins développé, et les tentatives de mise en œuvre dans les codes commerciaux ou industriels très rares.

Nous explorerons plusieurs pistes théoriques (estimateurs soit en résidu, soit ciblés pour des quantités d'intérêt spécifiées), classiques en éléments finis volumiques, en les évaluant et les adaptant aux difficultés spécifiques des équations intégrales. Ces estimateurs seront exploités pour définir (i) des stratégies de maillage ou de remaillage, et (ii) des tests d’arrêt pertinents dans les méthodes itératives.

Il s’agira ensuite de proposer des algorithmes efficaces pour leur mise en œuvre sur des modèles complexes issus des applications industrielles, en exploitant en particulier les stratégies de parallélisation ou d’accélération, et de les valider sur de tels modèles.

Le projet étant dans sa phase initiale, les résultats obtenus à ce stade sont de nature préliminaire. Ils concernent :

(a) La mise en œuvre dans un cadre simplifié (équation des ondes acoustiques, 2D) du calcul numérique d’estimateurs d’erreur basés sur le résidu : méthodologie d’évaluation de ces indicateurs (et notamment calcul numérique d’intégrales singulières présentes dans la méthode), des tests comparatifs préliminaires.
(b) L’adaptation aux équations intégrales (ondes élastiques, 3D) de la méthodologie d’estimation d’erreur basée sur la métrique (issue de travaux INRIA dans le cadre de méthodes de discrétisation volumique), avec des tests comparatifs préliminaires.

A court terme : choix d’une méthodologie d’estimation d’erreur réalisant un compromis entre justification mathématique, faisabilité de mise en œuvre et efficacité numérique ; développement et validation sur cas-tests académiques (par exemple avec solution de référence connue). Cette phase (première partie d’une thèse démarrant à l’automne) sera suivie d’une phase d’industrialisation (implantation des méthodes dans les codes de calcul industriels associés au projet, application à des études de cas de type industriel)

Communication « An adaptive fast multipole accelerated boundary element method fir 3D elastodynamics », S. Chaillat et A. Loseille, 2013 SIAM Conf. on Mathematical And Computational Issues in the Geosciences, Padoue (Italie), juin 2013.

Le projet RAFFINE porte sur le développement d’estimateurs a posteriori et de méthodes adaptatives pour les équations intégrales, dans le domaine de la simulation des ondes acoustiques, électromagnétiques et élastiques. Rappelons que les méthodes intégrales sont l’un des outils majeurs pour la simulation numérique des phénomènes de diffraction et de propagation d’ondes. En effet, ces méthodes ont connu ces deux dernières décennies un fort développement, tant sur le plan théorique qu’au niveau numérique, avec en particulier l’avènement des techniques multipôles (FMM). Or, paradoxalement, très peu d’outils pratiques existent qui permettent de contrôler la qualité de la solution discrète et l’impact de l’erreur de discrétisation sur des quantités d’intérêt telles que par exemple la SER (Surface Equivalente Radar) ou la matrice de scattering. Notre projet vise à combler ce manque.

Pour les méthodes d’éléments finis volumiques, le contrôle de l’erreur est classiquement réalisé à l’aide d’estimateurs a posteriori de diverses natures, donnant lieu à une littérature abondante et à des outils d’adaptativité ayant largement fait leurs preuves. Pour les équations intégrales, la littérature théorique est beaucoup plus pauvre, et les tentatives de mise en œuvre dans les codes commerciaux ou industriels restent très rares.
Nous proposons tout d’abord d’explorer plusieurs pistes théoriques (estimateurs en résidu ou goal-oriented), classiques en éléments finis volumiques, en les évaluant et les adaptant aux difficultés spécifiques des équations intégrales (non-localité de l’opérateur, singularité du noyau). Ces estimateurs seront exploités pour définir (i) des stratégies de maillage ou de remaillage, et (ii) des tests d’arrêt pertinents dans les méthodes itératives.

Il s’agira ensuite de proposer des algorithmes efficaces pour leur mise en œuvre sur des problèmes de grande taille, en exploitant en particulier les stratégies de parallélisation ou d’accélération FMM.

Enfin, les outils développés seront validés sur des cas canoniques typiques des difficultés rencontrées puis sur des cas industriels réalistes.