Equations de Schrödinger et applications – SchEq

L’équation de Schrödinger joue un rôle important dans la modélisation des phénomènes physiques d’une part, et d’autre part elle constitue un objet mathématique important. Elle représente un domaine de recherche extrêmement actif. Le premier but de ce projet est d’avancer la compréhension des liens entre les équations de type Schrödinger et certains phénomènes physique, comme la dynamique des vortex dans les fluides et dans les superfluides, ou comme la propagation des signaux dans les réseaux quantiques. Le deuxième but est l’étude des questions théoriques comme le comportement en temps grand des solutions de l’équation de Schrödinger non-linéaire posée sur une variété, dans des situations critiques et dans le cas des régimes haute fréquence. On structure le projet en deux parties, chacune ayant plusieurs sous parties, comme suit. 1) Applications de l’équation de Schrödinger • Dynamique de vortex dans la mécanique des fluides : On se propose d’étudier le lien entre la dynamique des vortex singuliers d’une part, et les flots géométriques et leurs structures dispersives sous-jacents d’autre part. On prêtera une attention particulière à la formation des singularités en temps fini. • Dynamique de vortex dans les superfluides : Nous souhaiterions décrire l’interaction entre des solutions spéciales de l’équation de Gross-Pitaevskii, et en particulier entre des sommes d’ondes progressives ou entre des ondes progressives 2-dimensionnelles et des solutions vortex. • Réseaux quantiques : La propagation des signaux dans les réseaux quantiques est reliée à l’équation de Schrödinger sur les graphes. Notre but est d’avancer l’étude non-linéaire non-stationnaire qui a été initiée seulement il y a quelques années, et se trouve faiblement représentée en France. 2) Comportement en temps grand de NLS • NLS sur des variétés : Dans cette partie du projet on voudrait continuer les recherches sur les propriétés de l’équation de Schrödinger non-linéaire sur des variétés, avec une attention particulière à l’explosion dans le cas focalisant et au comportement en temps grand dans le cas défocalisant sur des variétés compactes ou de type produit. Analyser une équation sur une variété entraîne une meilleure compréhension des outils Euclidiens et l’apport de nouveaux outils afin de dépasser les obstructions générés par la non-platitude. • Régimes haute fréquence pour NLS : On se propose de mieux comprendre la limite semi-classique en temps grand de l’équation de Schrödinger (ou Hartree) non-linéaire. Le régime haute fréquence pour des systèmes d’équations de Schrödinger non-linéaires est motivé par des modèles de la physique, et nécessite une nouvelle approche.