Géométrie de Finsler et applications – Finsler

Le projet concerne la géométrie de Finsler non riemannienne. Nous nous intéressons à des questions sur ces variétés finslériennes qui sont apparues ces dernières années comme problèmes de recherche extrêmement actifs, avec des techniques nouvelles et un potentiel humain important. Notre approche est en même temps métrique et dynamique (hamiltonienne), et les questions qui nous intéressent tournent autour de quatre axes : les geométries de Hilbert, la dynamique finslérienne, la géométrie systolique et les structures métriques sur l'espace de Teichmüller. Dans la réunion de ces quatre domaines, la géométrie finslérienne apparaît sous divers aspects : différentiable, métrique, projectif, ainsi qu'en relation avec plusieurs autres branches des mathématiques : géométrie des convexes, systèmes dynamiques, théorie géométrique des groupes, représentations de groupes discrets. Ce sujet a connu un regain d'intérêt en France durant les vingt dernières années, comme en témoignent plusieurs thèses qui ont été délivrées à Strasbourg, Paris, Chambéry, Grenoble, Montpellier et ailleurs en France. Nous avons réuni les mathématiciens travaillant en France sur ce sujet et qui ont voulu coopérer dans le cadre de ce programme. Ils sont disséminés dans une dizaine de laboratoires différents. Un certain nombre de questions sur le sujet se sont révélées communes à plusieurs membres du réseau, et le projet consiste à créer un cadre adéquat pour permettre à ces chercheurs de se réunir régulièrement pour travailler et collaborer sur ces questions dans de bonnes conditions, utilisant les techniques qui sont récemment apparues sur le sujet et en en développant des nouvelles. Les collaborations avec les collègues à l'étranger se poursuivront. Certaines questions sont classiques (au sens que ce sont des questions fondamentales, qui sont connues ouvertes depuis plusieurs années), et d'autres sont complètement novatrices, impliquant des notions et des techniques récentes. Les questions suivantes font la liaison entre les quatre thèmes mentionnés ci-dessus et elles contribuent à la cohérence du projet : (1) Dynamique des métriques finslériennes de faible régularité ; (2) Comportement de la fonction "volume systolique" comme fonction sur l'espace des module des structures projectives convexes ; (3) Métriques de Funk et de Hilbert de l'espace de Teichmüller, obtenues grâce aux plongements connus de cet espace dans des espaces euclidiens ou des espaces de Banach ; (4) flots géodésiques finslériens: les flots sur les espaces des modules analogues à ceux des métriques l'espace de Teichmüller. (5) Comparer le volume de Liouville du fibré unitaire d'une variété finslérienne avec la plus petite longueur de ses géodésiques fermées et caractériser les variétés finslériennes pour lesquelles cette comparaison est optimale. (6) Caractérisation d'un point de vue dynamique la géométrie hyperbolique parmi les variétés compactes à structure projective strictement convexe à travers les propriétés du flot géodésique, caractériser les géométries de Hilbert dont l'entropie volumique est maximale et celles pour lesquelles elle est nulle. (7) Relations entre divers invariants associés à la longueur et au volume dans une variété de Finsler : systole, diamètre, norme stable, entropie volumique, ainsi que l'asymptotique pour les géodésiques fermées sur une variété de Finsler. (8) Distribution et comparaison des constantes systoliques.( 9) Volume (de Holmes-Thompson) de la boule unité des normes stable d'une surface riemannienne.Détermination du minimum pour les surfaces d'un même genre. (10) Entropie minimale en Finsler, en parallèle avec celle des espaces symétriques de rang supérieur et la croissance des groupes;Conjecture de Lehmer. (11) Conjecture de Donaldson, Tian et Yau portant sur l'existence de métriques de Kähler-Einstein dans un cadre Hilbert. Le dénominateur commun à ces questions est la géométrie de Finsler, et le projet créera un cadre unificateur pour les résoudre