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Analyse de Fourier Multilineaire et EDPs Nonlineaires – AFoMEN

Nous souhaitons combiner l'approche resonances temps-espace et l'analyse temps-fréquence bilinéaire pour étudier des équations dispersives. De plus, on souhaite étudier précisément des inégalités de composition dans des espaces de type BMO pour les appliquer à des équations de type transport/diffusion.

On s'attend à pouvoir démontrer des résultats d'analyse harmonique réelle «abstraite« ainsi que des résultats d'existence de solution pour des equations nonlinéaires de différents type.

Ce projet ANR permettra d'obtenir de premières réponses mais de nombreuses questions intéressantes resteront encore à étudier. Le champ de l'intéraction entre l'analyse harmonique et les EDPs est très vaste. Les collaborations financées à l'intérieur de ce projet continueront par la suite pour continuer dans cette même direction : utiliser des techniques d'analyse harmonique pour les EDPs (Analyse multi-fréquence, estimation de dispersion, mesure spectrale via le semi-groupe de la chaleur, ....)

Articles, soumis sur les serveurs hal et arxiv, et publiés.

Résumé de soumission

Le projet a pour but d'établir des connections et des collaborations entre quelques personnes issues de différentes communautés mathématiques en vue d'accroitre la compréhension de l'analyse de Fourier multilinéaire et nonlinéaire. Plus précisément, nous nous intéresserons au caractère borné de plusieurs quantités multilinéaires (opérateurs, intégrales oscillantes, ....), dont l'étude nécessite une analyse temps-fréquence fine ainsi qu'au transport d'inégalités classiques par une transformation préservant la mesure. Tous ces problèmes sont motivés par des applications pour l'existence globale en temps de solutions pour des EDPs non linéaires. L'équipe proposée est constituée de chercheurs ayant de l'expérience en Analyse Harmonique et d'autres avec une formation ``EDPs linéaires'' et ``EDPs non linéaires''. Ainsi, nous nous attacherons à des problèmes qui sont à l'interface entre l'analyse de Fourier multilinéaire et l'étude théorique des EDPs (problème de scattering, existence globale en temps, ...). Ces deux sujets sont en vogue depuis une dizaine d'année et ont donné lieu à de nombreux travaux. Il semble donc important de participer à ces deux tendances mathématiques actuelles et de très haute qualité. Tout d'abord, un nombre important de chercheurs portent une très grande attention à l'analyse temps-fréquence multilinéaire, surtout depuis la percée de Lacey et Thiele, qui ont résolu la célèbre conjecture de Calderon sur les transformées de Hilbert bilinéaires, ainsi que le développement de la théorie multilinéaire de Calderon-Zygmund. De plus, l'étude théorique des EDPs (problème de scattering, étude en temps long, ...) est un sujet qui a donné lieu à de nombreux travaux et sur lequel de nombreux chercheurs travaillent, étant donné qu'il n'y a pas encore de théorie générale.
Notre projet se situe à l'interface de ces deux domaines et à pour but de développer certaines connexions : utiliser l'analyse multilinéaire pour résoudre des problèmes difficiles dans l'étude des EDPs dus à la présence de nonlinéarités. Nous espérons ainsi apporter une nouvelle approche et de nouvelles idées dans ces deux domaines mathématiques en développant des interactions. Pour cela, plusieurs tâches sont proposées. Une d'elles sera exclusivement dédiée à des problèmes issus de l'analyse temps-fréquence bilinéaire. Dans une autre tâche, nous nous efforcerons d'étudier les intégrales multilinéaires qui apparaissent dans la méthode des résonances (sujet d'une troisième tâche) dans le but de développer une approche générale pour l'étude des EDPS nonlinéaires. Une dernière tâche portera sur l'étude de solutions globales en temps pour des systèmes non linéaires issus de la mécanique des fluides, nécessitant une compréhension très fine de certains phénomènes.

Coordination du projet

Frédéric Bernicot (UNIVERSITE DE NANTES) – frederic.bernicot@univ-nantes.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

LMJL UNIVERSITE DE NANTES

Aide de l'ANR 60 000 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2011 - 48 Mois

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