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Géométrie des mesures convexes et discrètes – GeMeCoD

Géométrie des espaces de mesures convexes, sphériques, gaussiennes et discrètes

Etudier ces espaces de mesures, leurs interactions et répondre à des questions mathématiques posées par l'informatique théorique.

Interactions entre géométrie des espaces de mesures et mathématiques discrètes appliquées à l'informatique

Les informaticiens théoriciens utilisent de plus en plus des outils classiques d'analyse fonctionnelle, de géométrie des convexes, d'analyse harmonique et de probabilités dans lesquels nous sommes experts. Le prototype historique de telles interactions est l'inégalité d'hypercontractivité/log-Sobolev qui est valide à la fois dans les cadres gaussiens et discrets et est devenu un outil très important de l'informatique théorique depuis son introduction dans le sujet par Kahn-Kalai-Linial à la fin des années 80. Pour cela, nous envisageons de travailler dans quatre directions : <br />- extensions de l'inégalité de Brunn-Minkowski <br />- autour des inégalités de Poincaré et d'hypercontractivité <br />- géométrie des ous-espaces de L^p <br />- étude de la symétrie <br />Nous voulons développer ce type de résultats et les appliquer à l'analyse discrète en vue d'utilisations en informatique théorique.

Pour faire progresser ces thématiques, nous allons utiliser les moyens du projet ANR pour organiser des conférences thématiques destinées aux post-doctorants et aux jeunes chercheurs, des groupes de travail regroupant des chercheurs d'horizons différents, des colloques et enfin recruter des post-doctorants. Cette activité scientifique autour de ces thématiques va créer une dynamique, donner une visibilité à ces questions et inciter ainsi les chercheurs à s'y consacrer en collaborant chacun avec sa spécialité.

Après six mois d'activité, nous avons déjà organisé une école d'hiver, des Journées de Printemps, un congrès d'été, recruté un postdoctorant et plusieurs articles sont soumis ou en cours de rédaction sur les thèmes du projet.

Nous avons prévu l'organisation de deux écoles thématiques pour 2012/2013. Parallèlement, par groupes de deux ou trois, les chercheurs explorent les différents aspects des questions posées dans les objectifs du projet.

Après seulement six mois d'activité, nous avons déjà plusieurs articles soumis ou en cours de rédaction sur les thèmes du projet.

L'objectif de ce projet est d'étudier les géométries des espaces de mesures convexes, sphériques, gaussiennes et discrètes afin d'augmenter leurs interactions dans le but de répondre à des questions mathématiques posées par l'informatique théorique. Notre équipe est constituée de mathématiciens, issus de l'analyse fonctionnelle, la géométrie des convexes, l'analyse harmonique et les probabilités. Nous avons réalisé simultanément que nous partagions un intérêt commun pour des questions issues de problèmes d'informatique théorique, que les informaticiens théoriciens utilisent de plus en plus des outils classiques dans nos théories pour démontrer des théorèmes importants et que nous pourrions le faire nous-mêmes. Nous demandons du soutien pour cette évolution thématique.
Le prototype historique de telles interactions est l'inégalité d'hypercontractivité/log-Sobolev qui est valide à la fois dans les cadres gaussiens et discrets et est devenu un outil très important de l'informatique théorique depuis son introduction dans le sujet par Kahn-Kalai-Linial à la fin des années 80. Nous sommes nombreux dans notre équipe à être experts dans ces inégalités et à les avoir étendues dans diverses directions. Nous voulons développer ces résultats et les appliquer à l'analyse discrète en vue d'utilisations en informatique théorique. Cette fertilisation mutuelle apparaît aussi pour d'autres questions comme l'émergence de versions discrètes des inégalités de Brunn-Minkowski/Prékopa-Leindler et du théorème de localisation de Kannan-Lovasz-Simonovits. De telles interactions sont aussi présentes dans la recherche de réduction de l'aléas pour la construction d'algorithmes pour des plongements de sous-espaces de L_p. Enfin, dans tous ces modèles, la symétrie joue un rôle crucial que nous voulons mieux comprendre. Dans tous ces domaines, les membres de notre équipe ont observé l'augmentation très rapide des interactions avec le cadre discret.
Notre équipe est un groupe de mathématiciens français d'origines diverses motivés pour développer en France des méthodes et des outils pour l'étude des géométries des espaces de mesures convexes, sphériques, gaussiennes et discrètes qui sont utiles en informatique théorique.


Coordinateur du projet

Monsieur Matthieu FRADELIZI (UNIVERSITE PARIS-EST MARNE LA VALLEE) – matthieu.fradelizi@univ-mlv.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UPS-IMT UNIVERSITE TOULOUSE III [PAUL SABATIER]
LAMA UNIVERSITE PARIS-EST MARNE LA VALLEE

Aide de l'ANR 200 000 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2011 - 48 Mois

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