Dynamique d'interfaces dans les équations d'évolution – IDEE

Les solutions de certaines équations de réaction-diffusion peuvent développer des zones de transition très abruptes, ou interfaces, en particulier lorsque le terme de réaction est grand devant celui de diffusion. Ce projet s'articule autour de limites singulières d'équations de réaction-diffusion lorsqu'un paramètre relié à l'épaisseur d'une interface diffuse tend vers zéro. Les termes de réaction considérés seront du type Fisher-KPP (monostables) ou Allen-Cahn (bistables).

1. Fisher-KPP:

Les équations de réction-diffusion avec réaction logistique ont été introduits dans les travaux pionniers de Fisher et Kolmogorov, Petrovsky, Piskunov. Elles sont très utilisées pour modéliser des phénomènes d'invasions biologiques. Une des propriétés essentielles de ces équations est d'admettre des solutions ondes progressives avec des vitesses décrivant une demi-droite de R (d'où leur bonne capture des phénomènes d'invasions).

Sous certaines hypothèses sur les conditions initiales, on sait que la limite singulière de l'équation de Fisher-KPP redimensionnée est une interface évoluant par vitesse constante égale à la vitesse minimale des ondes progressives monotones associées.

Dans cette partie du projet, les directions sont les suivantes.

a. Quelles conséquences a l'introduction d'un retard dans l'EDP?
b. Quelles conséquences a l'introduction d'un effet non-local dans l'EDP?
c. Quel est le lien entre la convergence de l'EDP et la stabilité des ondes progressives associées?

2. Allen-Cahn:

Allen et Cahn ont introduit une théorie de diffusion microscopique pour le déplacement d'une frontière entre différentes phases (dans un alliage Fe--Al). La vitesse de l'interface est proportionnelle à la courbure moyenne en chaque point de l'interface.

Pour des conditions initiales non préparées, des études précises de la génération et de la propagation d'interface ont prouvé que l'équation d'Allen-Cahn redimensionnée converge vers le mouvement par courbure moyenne (MCM en abrégé). Tant que le MCM est classique (cad pour des temps petits) une estimation optimale de l'épaisseur des zones de transition est connue. Dans un contexte "viscosité", la convergence pour tout temps vers le MCM généralisé défini par Evans-Spruck et Chen-Giga-Goto est connue.

Dans cette partie du projet, les questions sont les suivantes.

a. Peut on estimer l'épaisseur des zones de transition après l'apparition de singularités pour le MCM classique?
b. Quel est l'effet d'une diffusion "density-dependent"?
c. Que se passe t-il si le Laplacien classique est remplacé par le Laplacien fractionnaire?
d. Qu'advient-il lorsque l'équation n'admet pas de principe de comparaison?