Aspects algébriques et analytiques des équations aux q-différences – Q-DIFF

Alors que la théorie des équations différentielles a connu un essor considérable durant les siècles passés, les théories des équations aux différences finies ou aux q-différences ont connu des développement relativement limités. Récemment ces domaines ont connu un regain d'intérêt aussi bien d'un point de vue analytique que d'un point de vue algébrique ou arithmétique, en raison notamment d'applications attendues à de nombreux domaines des mathématiques.

Ce projet a pour but d'étudier les aspects analytiques, algébriques et arithmétiques des équations aux q-différences.

Concernant les aspects algébriques nous proposons de développer les théories de Galois des équations linéaires, éventuellement paramétrées. Nous en abordons ainsi les aspects théoriques: unification des théories existantes, confluence galoisienne, théorie itérative lorsque q est une racine de l'unité, théorie de Galois différentielle des équations aux différences,... Nous nous attachons aussi à leurs applications pratiques: calculs explicites de groupes de Galois par des voies analytiques, problèmes de transcendance et d'hypertranscendance de $q$-fonctions classiques. Dans le cas non linéaire, nous nous proposons de poursuivre l'approche galoisienne d'une équation aux q-différences non linéaire via le groupoïde de Malgrange, en étudiant par exemple ses liens avec les théories linéaires ainsi que ses nombreuses applications en particulier pour l'étude de l'irréductibilité des divers q-analogues des équations de Painlevé obtenues par l'école japonaise ainsi que pour les questions d'intégrabilité de ces mêmes équations.

En ce qui concerne les aspects plus analytiques, nous proposons d'approfondir l'étude de la classification analytique des équations aux q-différences pour $|q|=1$, par exemple, ses connections avec les courbes elliptiques non-commutatives. En lien étroit avec ces problèmes, nous souhaitons aller plus en avant dans l'étude des singularités des équations mixtes aux différences/différentielles et des problèmes de perturbations singulières de ces équations.

Enfin d'un point de vue plus arithmétique, notre projet vise en ce qui concerne les aspects galoisiens à donner une description arithmétique des groupes par le biais d'un q-analogue de la conjecture de Grothendieck, pour les valeurs spéciales des fonctions classiques à adapter au cas complexe des progrès récents dans le cadre p-adique d'une part et, d'autre part, à étudier l'éventualité d'une possible ``quantification" de la théorie des applications miroirs (avec des propriétés du type caractère entier, dans un sens convenable, des coefficients du développement de Taylor par exemple).

Par ces multiples éclairages et leurs nombreuses interactions, ce projet tend à donner une vision à la fois riche et unifiée du monde des q-différences et de par ces nombreuses applications, le connecte
à des domaines aussi variés que la théorie des systèmes dynamiques discrets (non-intégrabilité), la théorie des noeuds (conjecture du volume hyperbolique), les groupes quantiques (associés à des algèbres de Kac-Moody), le 12ème problème de Hilbert, etc.