Analyse statistique de modèles déformables de signaux et images. – DEMOS

Un grand nombre de domaines scientifiques actuels tels que la biologie, la chimie ou le traitement d'images biomédicales mettent en jeu des observations de n signaux uni ou bi-dimensionels. Ces observations sont généralement de grande dimension et de nombreux travaux récents en statistiques tout comme en traitement du signal ont étudié des problèmes d'estimation dans le cadre de la grande dimension. Dans de nombreuses situations, les signaux observés ont en commun une certaine structure la plupart du temps inconnue et les observations sont des réalisations aléatoires « autour » de cette forme commune.

Le problème de l'estimation de cette forme commune, tout comme la caractérisation des modes de variation des données autour de cette forme sont des enjeux fondamentaux pour la détermination du processus génératif des données. Typiquement, les signaux sont bruitées par une source classique de variation linéaire en amplitude (ou intensité), par exemple par un bruit Gaussien. Cependant, il n'est pas déraisonnable de penser qu'il peut exister une autre source de variation non-linéaire due à une déformation en temps (ou en espace) du signal.

L'objectif du projet DEMOS est de proposer des approches statistiques nouvelles pour les problèmes d'estimation dans le cadre des données déformées par un opérateur aléatoire inconnu et qui ont en plus subit des perturbations additives. Le problème de l'estimation de déformations entre deux signaux ou images est habituellement problème de recalage et le projet DEMOS s'intéressera aux aspects statistiques des algorithmes de recalages utilisés dans le contexte du traitement du signal et de l'image. Plus généralement, nous voulons définir dans le projet DEMOS de nouvelles méthodologies dédiées au cadre aléatoire pour l'analyse des modes de variation des signaux ou images déformées qui appartiennent à des espaces non euclidiens (les espaces algébriques appropriés possédant vraisemblablement des structures de groupe de Lie).

L'étude mathématique sous-jacente repose sur l'utilisation de techniques modernes de statistiques telles que la résolution de problèmes inverses avec opérateurs inconnus, l'analyse en composante principale non-linéaire pénalisée, la M-estimation sur des groupes de Lie.

De plus, le projet DEMOS se situe au carrefour de diverses branches des mathématiques appliquées: statistiques, traitement du signal et ingénierie. Les champs d'applications des méthodes développées par le projet DEMOS seront très nombreuses, on peut en effet penser à l'utilisation d'estimation pour des données déformables en génomiques ou protéomiques, la reconnaissance de formes bidimensionnelles, et plus généralement dans le cadre de ce qu'on appelle « computational anatomy ». Ainsi, une grande partie du projet sera dédiée à la création et à la diffusion académique de codes numériques rentrant dans le cadre des modèles aléatoires déformables. En particulier, un objectif sera de développer des boites à outils Matlab ou R.