Méthodes nouvelles en géométrie non-kählerienne – MNGNK

Notre programme envisage l'utilisation d'une combinaison très variées de techniques modernes:
1. La théorie de jauge, et notamment la théorie de Donaldson, les espaces de modules de fibrés holomorphes,
2. Des nouveaux théorèmes de type Grothendieck Riemann-Roch pour étudies ces espaces de modules,
3. La théories des feuilletages, actions des groupes, métriques spéciales.

Nous envisageons des progrès substantiels sur la classifications des surfaces complexes non-kähleriennes.

1. Compléter la classification de Enriques-Kodaira des surfaces complexes (problèmes classique, qui date depuis plusieurs décennies).

2. Etendre nos méthodes en dimension supérieure.

Articles, ouvrages, conférences.

Chaque domaine de recherche en mathématiques fondamentales a un problème de classification central autour duquel gravite toute la recherche dédiée à la discipline en question. Le problème fondamental de la géométrie complexe est la classification des variétés complexes compactes.

Tandis que dans la classification des variétés prjectives algébriques ou kähleriennes on a fait des progrès remarquables en dimension arbitraire, le cas non-kählerien pose encore des difficultés énormes même en dimension 2.

Notre projet “Methodes nouvelles en géométrie non-kählerienne” est dédié premièrement au problème de classification des variétés complexes en contexte non-Kählerien et aux problèmes reliés à ce problème fondamental. Plus précisément les thèmes de recherche qui seront traités dans le cadre de notre projet sont:

- La classification des surfaces non-kähleriennes,
- Théorèmes d'indice local et théorèmes de type Grothendieck-Riemann-Roch en géométrie non-kählerienne,
- Métriques spéciales sur les variétés non-kähleriennes,
- Feuilletages et actions des groupes sur les variétés complexes.

Nous allons expliquer brièvement l'importance et les relations entre ces thématiques:
Les méthodes développées pour les cas algébrique et kählerien ne sont pas directement applicable au contexte non-Kählerien. D'autre part, grâce aux efforts conjugués de quelques experts (et en particulier des quelques participants à ce projet) on a obtenu récemment des résultats importants concernant la classification des surfaces non-kähleriennes. Ces résultats ont réanimé l'intérêt de la communauté mathématique pour cette théorie et ont réanimé l'espoir d'avoir bientôt une classification complète.

Afin d'étendre ces méthodes nouvelles au cas général (aux surfaces de la classe VII à deuxième nombre de Betti arbitraire) on a besoin d'une version très fine du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch pour les familles holomorphes. Plus précisément on a besoin une formule pour la caractère de Chern d' l'image directe totale en cohomologie de Bott-Chern ou de Deligne. Le problème semble à être est très difficile même pour les experts du domaine, donc nous avons le deuxième thème (qui est évidemment importante indépendamment des autres trois) dans notre projet.

L'une des idées les plus fructueuses en géométrie complexe moderne est la théorie des "métriques spéciales". L'idée est très naturelle:

Essayons de munir une variété complexe compacte d'une métrique qui - dans un certain sens - est optimale (par exemple elle minimise une certaine fonctionnelle). Cette idée (qui relie la géomètre complexe à la l'analyse globale et à la géométrie différentielle) a été développée avec force dans le contexte algébrique et kählerien. Par exemple les théorèmes de Aubin-Yau concernant l'existence des métriques de Kähler-Einstein peuvent être regardés comme une concrétisation de ce programme. Mais récemment quelques résultats spectaculaires (obtenus par Donaldson, Tian et beaucoup d'autres) ont montré que cette idée peut être appliquée à une classe plus large de variétés kähleriennes (par exemple aux métriques extrémales, ou à courbure scalaire constante).

Nous allons nous concentrer sur l'existence et la classification des métriques bihermitiennes et localement conformément kähleriennes (qui existent sur certains surfaces non-kähleriennes). On va aussi étudier les structures "nearly Kähler".

Un problème important concernant la classification des surfaces complexes est: quelles sont les surfaces complexes qui admettent un feuilletage holomorphe? Pour les surfaces pour lesquelles la réponse est positive, on peut aussi demander le classification des tous les feuilletages possibles.
Pour les surfaces non-kähleriennes ces questions sont très importantes, parce que (d'après les résultats de Dlousky-Oeljeklaus-Toma) les surfaces qui admettent des feuilletages sont plus faciles à classifier.