Propriétés multiplicatives des suites et systèmes de numération – MUNUM

La notion de système de numération est fondamentale dans nombre de domaines des mathématiques et de l'informatique. En plus des systèmes q-adiques (binaires, hexadécimaux, etc...), il existe beaucoup d'autres systèmes de numération qui ont été étudiés récemment. On peut mentionner par exemple les développements dans une base qui satisfait une récurrence linéaire. Pour un système de numération donné, il existe nombre de fonctions des chiffres qui méritent d'être étudiées, à la fois d'un point de vue théorique et pratique. Mentionnons par exemple la fonction somme des chiffres, la fonction de comptage des chiffres par blocs, et plus généralement les fonctions q-additives. Les développement q-adiques ont des applications variées. Par exemple la construction de suites pseudo-aléatoires, cruciale en cryptographie, est intimement liée à ces notions.

L'objectif de ce projet est de progresser sur plusieurs questions fondamentales qui relient les développement q-adiques et leurs fonctionnelles (somme des chiffres, fonctions q-additives) avec les objets classiques de la théorie des nombres (multiples, nombres premiers, polynômes, récurrences). Alors que chacun de ces domaines a été très étudié, les relations entre eux sont très peu connues. Le projet peut être subdivisé en trois parties, selon l'interaction que l'on étudie.

La première partie consiste à étudier les propriétés de répartition de fonctions des chiffres sur des polynômes ou quasi-polynômes dans les progressions arithmétiques. Un problème ouvert célèbre de A. O. Gelfond (1968) concerne la répartition de la fonction somme des chiffres des certaines suites éparses (nombres premiers, polynômes) dans les progressions arithmétiques. Le cas des nombres premiers et celui des carrés a pu être résolu récemment par C. Mauduit and J. Rivat, en utilisant une palette de techniques alliant l'analyse de Fourier, les sommes d'exponentielles et la combinatoire. Notre but est de poursuivre sur cette question pour les polynômes de degré plus élevé, pour lesquels seules des minorations de densité inférieure sont connues. Nous voulons aussi traiter d'autres conjectures dans ce domaine pour lesquelles ces techniques pourraient être utiles. La méthodologie appropriée provient de la théorie analytique des nombres en conjonction avec des considérations arithmétiques profondes cachées derrière la notion de chiffres.

La seconde partie concerne l'étude des propriétés de distribution locale et de phénomène d'oscillation de termes d'erreur de fonctions
de chiffres sur les multiples d'entiers.Newman (1969) a montré que les multiples de trois écrits en base 2 ont plus souvent un nombre pair de 1 qu'un nombre impair. Récemment des déviations similaires ont pu être observées pour nombre d'autres ensembles de multiples, mais aucune caractérisation n'a encore été trouvée. Notre objectif est d'obtenir un tel résultat. Un problème relié à consiste à trouver une approximation asymptotique du nombre de n dont les multiples (avec un facteur multiplicatif arbitraire) ont une somme des chiffres donnée. J. Schmid (1984) a obtenu un tel résultat dans le cas d'un facteur multiplicatif fixé. Fournir une telle formule pour un grand ensemble de facteurs multiplicatifs est un problème ouvert et difficile.

La troisième partie concerne les entiers friables, c'est-à-dire les entiers qui n'ont que de petits facteurs premiers. Leur connaissance est cruciale pour la qualité et la complexité des algorithmes modernes de factorisation. Des progrès récents ont été accomplis pour l'étude des entiers friables dans les suites polynomiales. Les outils pour aborder ce type de problèmes d'interaction proviennent des probabilités. On peut raffiner la notion d'entier friable en presque-friable, où la partie multiplicative friable est grande. Une autre perspective intéressante est l'étude de fonctions multiplicatives aléatoires sur les entiers friables. Ce domaine a acquis une importance considérable récemment.