Méthodes spectrales en chaos classique et quantique – METHCHAOS

Nous proposons d'étudier quelques problèmes de chaos classiques et quantiques en s'appuyant sur des méthodes de théorie spectrale. Typiquement, pour la partie classique, il s'agira de comprendre le spectre des résonances de Ruelle-Pollicott de l'opérateur de Perron-Frobenius (ou d'une application hyperbolique) en utilisant l'analyse microlocale, ou encore de donner des estimées inférieures sur le spectre essentiel de cet opérateur par des techniques de formule de traces. Concernant la partie quantique, le projet sera centré sur l'évolution en grand temps du propagateur quantifiant une dynamique classique chaotique (i.e. la solution de l'équation des ondes ou de Schrödinger), sur l'existence de bandes sans résonances dans ces cas là, sur l'étude de l'équation des ondes amorties sur des variétés à courbures négatives, ainsi que sur des questions de localisation et concentration de fonctions propres associées aux grandes valeurs propres du laplacien (Unique Ergodicité Quantique). Enfin, on étudiera les fonctions zeta de Selberg sur les variétés hyperboliques géométriquement finies (mais de volume infini) ainsi que la théorie spectrale de marches aléatoires sur des variétés hyperboliques non-compactes.