– ArDyPitEq

L'objectif principal de notre projet est l'étude de la dynamique des équations de Schrödinger non linéaires avec conditions non nulles à l'infini. L'exemple typique d'une de ces équations est fourni par l'équation de Gross-Pitaevskii, qui apparaît comme un modèle pour différents phénomènes physiques, tels que la condensation de Bose-Einstein, la superfluidité de l'Hélium II, ou les solitons sombres en optique non linéaire. À l'inverse des équations de Schrödinger non linéaires avec conditions nulles à l'infini pour lesquelles la dynamique est essentiellement gouvernée par les phénomènes de dispersion et de diffusion, la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii est supposée présenter une remarquable variété de solutions particulières et de régimes asymptotiques. Une première classe de solutions particulières est formée par les ondes progressives qui correspondent à la propagation d'un profil dans une direction donnée à une vitesse fixée. Un certain nombre de travaux mathématiques récents ont démontré l'existence de ces ondes progressives, puis décrit leurs principales propriétés qualitatives. Un premier objectif de notre projet serait d'achever l'étude de l'existence de ces ondes progressives, et d'aborder la question de leur unicité, qui joue un rôle dans l'analyse de leur stabilité. Il sera alors naturel d'étendre ces résultats au cas des multi-ondes progressives, qui correspondent à la propagation d'un nombre fini de profils dans des directions données, différentes ou non, à des vitesses fixées. Le second objectif de notre projet serait de démontrer la stabilité ou l'instabilité des ondes progressives le long du flot de l'équation de Gross-Pitaevskii. Ceci passera d'abord par la question de la stabilité orbitale des ondes progressives, avant de démontrer leur stabilité asymptotique, au moins dans le cas de la dimension un. Pour atteindre cet objectif, il sera sans doute nécessaire de réaliser un certain nombre de simulations numériques de l'évolution des ondes progressives. En dimension deux, nous souhaiterions aussi mieux comprendre la dynamique des solutions vortex de l'équation de Gross-Pitaevskii, en particulier leurs interactions potentielles avec des ondes progressives ou des multi-ondes progressives. Ceci passera là-aussi par des simulations numériques de ces interactions avant d'entreprendre une étude plus théorique de ce problème. Une autre façon d'analyser la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii consiste à étudier certains de ses régimes asymptotiques. Plusieurs travaux mathématiques récents ont fait le lien dans la limite ondes longues avec l'équation des ondes d'une part, et les équations de Korteweg-de Vries et de Kadomtsev-Petviashvili, d'autre part. Nous projetons ici de compléter et de préciser cette dernière limite. Ceci pourrait en particulier jeter un regard nouveau sur la dynamique des ondes progressives laquelle est bien mieux comprise dans le cas des solitons de l'équation de Korteweg-de Vries. Enfin, un dernier élément de ce projet consisterait à étendre les questions précédentes à d'autres équations de Schrödinger non linéaires avec conditions non nulles à l'infini, qui ont une pertinence physique. L'un des objectifs ici serait de vérifier ou d'infirmer si certains phénomènes associés à l'équation de Gross-Pitaevskii ont une certaine généralité dans une classe plus grande d'équations similaires. Nous espérons ainsi apporter une nouvelle justification théorique à certaines observations expérimentales.