Une quantification de la propriété (T) – Quantit

La propriété (T) a été introduite par Kazhdan en 1967 en termes de représentations unitaires. Ses applications les plus spectaculaires sont qu'elle passe aux réseaux, et qu'elle implique l'engendrement compact et que l'abélianisé d'un groupe (T) est compact. La propriété (T) a été rapidement reliée à des propriétés du point fixe des actions de groupes, et Guichardet et Delorme ont ainsi montré qu'un groupe localement compact séparable a la propriété (T) si et seulement si toute action isométrique sur un espace de Hilbert possède un point fixe. Il s'ensuit qu'un groupe ayant la propriété (T) possède également la propriété FA de Serre, qui dit que toute action sur un arbre fixe un point. Une aire active de recherche a été de trouver des objets sur lesquels l'existence d'une action effective fournit une obstruction à la propriété (T) (voir par exemple les travaux de Niblo-Reeves, Haglund-Paulin, Cherix-Martin-Valette ou Chatterji-Drutu-Haglund) et naturellement, en vue du résultat de Delorme et Guichardet sur la propriété du point fixe sur les espaces de Hilbert, les espaces Lp sont des espaces naturels à considérer. (En revanche, la classe de tous les espaces de Banach est trop large, car tout groupe agit isométriquement sans point fixe sur un espace de Banach convenable.) Les propriétés de point fixe pour les actions de groupe sur une classe d'objets est une mesure de complication pour le groupe dans la mesure où il interdit d'étudier géométriquement ce groupe à l'aide de la géométrie de cette classe d'objets. Par exemple, jusqu'aux travaux de V. Lafforgue, la conjecture de Baum-Connes n'était connue pour aucun groupe infini avec la propriété (T), et reste ouverte notament pour SL(3,Z). Récemment, plusieurs versions fortes de la propriété (T) ont été introduites, notamment par V. Lafforgue donnant des obstructions aux techniques développées pour la conjecture de Baum-Connes, mais aussi par son étudiante Gomez et par Fisher-Hitchman qui ont 'tordu' certaines définitions de la propriété (T) pour en obtenir des version plus fortes. Notre projet possède plusieurs parties, d'intérêt indépendant, mais faisant partie d'un tout. 1. Introduire et étudier, pour un groupe G avec la propriété (T), une constante tau(G) indiquant la classe des espaces Lp sur lesquels le groupe G ne peut pas agir par isométries sans point fixe; 2. Comprendre le lien entre l'absence d'action isométrique sans point fixe sur aucun espace Lp (p fini) avec d'autres notions fortes ou faibles de la propriété (T); 3. Pour un groupe G avec la propriété (T) mais possédant pour un certain p fini une action isométrique propre sur un espace Lp, étudier jusqu'où on peut retrouver des résultats connus lorsque p = 2 (comme une preuve de la conjecture de Baum-Connes pour G, ou une action sur un objet géométrique analogue à un espace médian).