– CoNuM

La contrôlabilité de systèmes d'équations aux dérivées partielles, - notamment la contrôlabilité aux trajectoires, a connu un développement - important depuis les années 90. L'obtention d'inégalités dites de - Carleman et leur utilisation dans ce cadre ont conduit à des résultats - nouveaux pour la contrôlabilité d'équations paraboliques - semi-linéaires, d'équations paraboliques à coefficients discontinus, - et de systèmes de réaction-diffusion. Ces mêmes inégalités ont permis - également d'établir de nouveaux résultats de stabilité pour des - problèmes inverses. - - La modélisation de nombreux phénomènes rentrent dans ce contexte, par - exemple en biologie ou en imagerie médicale. Il est donc fondamental - d'aborder ces problèmes de contrôle non seulement d'un point de vue - théorique mais aussi d'un point de vue pratique en proposant et en - analysant des méthodes numériques. A l'heure actuelle, l'analyse des - méthodes d'approximation de ces problèmes de contrôle et - d'identification est encore un problème largement ouvert. C'est dans - cette problématique que s'inscrit notre projet. - - - Il existe actuellement peu de résultats de stabilité et/ou de - convergence de schémas numériques pour la controlabilité aux - trajectoires. Nous comptons commencer par l'étude du cas simple d'une - équation parabolique mono-dimensionnelle à coefficients réguliers avec - un contrôle frontière ou interne. Nous espérons obtenir un problème - discret contrôlable pour lequel nous saurons établir des inégalités - d'observabilité uniformes par des méthodes explicites (au moyen - d'inégalités de type ``Carleman discret'' pour des opérateurs - elliptiques et paraboliques). Ceci permettra de proposer une stratégie - de construction d'un contrôle discret uniformément borné et finalement - de justifier la convergence vers un contrôle du problème continu. Nous - pensons que ces méthodes explicites seront transposables à des cas - plus généraux, notamment au cas multi-dimensionnel, au cas des - coefficients peu réguliers ou encore aux systèmes. Cela constitue - l'une des originalités de notre approche. - - On pourra par la suite s'intéresser à d'importantes questions ouvertes - comme la convergence forte du contrôle vers un contrôle du problème - continu, comme l'optimalité du contrôle limite, etc... Nous étudierons - également dans ce cadre différents schémas numeriques en espace - (différences finies, éléments finis, volumes finis...). De même, - l'influence du choix de la discrétisation temporelle, peu étudiée dans - ce contexte, ainsi que l'étude de sa convergence sont aussi des - questions qu'il nous semble nécessaire d'aborder. - - Parallèlement à cela, des simulations numériques fiables nous - permettrons d'avancer dans la compréhension de problèmes encore - ouverts tels que l'influence de la localisation de la zone de contrôle - (en particulier dans le cas de coefficients discontinus), la - contrôlabilité des équations paraboliques semi-linéaires dans les cas - critiques, ou encore la contrôlabilité de systèmes. - - Nous envisageons également d'étendre cette expertise à des problèmes - inverses comme l'identification de paramètres et à leurs applications - notamment dans l'étude des traitements du cancer en collaboration avec - un laboratoire de pharmacologie marseillais. - - Pour atteindre ces objectifs, nous proposons de tirer profit des - compétences de chercheurs en calcul scientifique et analyse numérique - (F. Boyer, F. Hubert et A. Münch) et en théorie du contrôle et des - problèmes inverses (A. Benabdallah, C. Dupaix et - J. Le Rousseau) répartis sur les laboratoires de mathématiques de - Marseille (LATP) et de Besançon. - - - En conclusion, les objectifs principaux de ce projet sont d'une part - d'apporter des outils nouveaux pour l'analyse de l'approximation - numérique de problèmes de contrôle, et d'autre part le developpement - de méthodes numériques fiables pour traiter ces m\^eme - problèmes. De plus l'outil ``simulation numérique'' pourra etre - une première étape dans la compréhension ...