Equations aux dérivées partielles dispersives – Equa-disp

Le sujet central de notre projet est l'étude des propriétés des solutions des équations - aux dérivées partielles dispersives. Cette catégorie représente un grand nombre - d'EDP. Les exemples les plus connus sont les équations des ondes, de Schrödinger, - de Korteweg-deVries, ou de Benjamin-Ono. Toutes ces équations ont en commun la - particularité de disperser les ondes. Dans les années 80, avec les travaux de - Ginibre-Velo, Bourgain, Kapitanski, Kato (et d'autres), la mise en évidence de ce type - de propriétés, qui peut être vu (modulo une moyennisation en temps) comme un gain - de régularité, s'est avérée cruciale pour la résolution de ces équations. Alors que les - études autour de ce type d'équations se sont considérablement développées, de - nombreux progrès restent à faire : notre projet peut être divisé en quatre volets. Il est - cependant clair que cette division est un peu arbitraire dans la mesure ou ces quatre - thèmes sont reliés les uns aux autres et où tout progrès dans l'un peut avoir des - répercutions sur un autre thème. - A: Les EDP d'ondes longues dispersives (telles que KdV, Benjamin-Ono, KP,...) sont - des modèles universels pour décrire la dynamique en temps grand de divers - phénomènes compliqués de propagation d'ondes, dans un régime d'ondes longues - faiblement non lineaires. Par example, ce sont des modèles pour les ondes (de - surface ou internes) dans l'eau), les ondes de plasma, les ondes dans les matériaux - ferro-magnétiques, etc... Elles apparaissent aussi comme la limite des ondes - longues (trans-sonique dans le cas de l'équation de Gross Pitaevskii) de l'équation de - Schrödinger non linéaire. Un point important est la justification rigoureuse des - modèles. Un autre point fondamental est la comparaison (via des méthodes BKW) - entre les solutions du système original (après un changement d'échelle approprié) et - les solutions du système modèle, avec des estimations d'erreur correctes. Une autre - question importante aussi bien pour la modélisation que pour des considérations - théoriques est celle de le théorie du contrôle pour ces modèles de longues ondes. - Malgré les avancées récentes, de nombreuses questions restent ouvertes. - Finalement, mentionnons que toutes ces questions ne peuvent ignorer les simulations - numériques qui souvent restent le guide unique pour obtenir des renseignements sur - la dynamique. - B: L'influence de la géométrie du milieu où l'onde se propage est encore très mal - comprise, en particulier pour les équations de type Schrödinger pour lesquelles la - vitesse de propagation devient infinie (et donc pour lesquelles, la géométrie globale du - milieu intervient instantanément) . Les géométries pour lesquelles on dispose de - résultats (relativement) satisfaisants sont très particulières: les tores (travaux de - Bourgain) ou les sphères essentiellement. L'étude des problèmes aux limites pour - ces équations est aussi a peine défrichée: même pour l'équations des ondes, les - résultats dont on dispose sont encore très partiels. Enfin, l'étude des équations - semi-linéaires en présence de non linéarités sur critiques restent un vaste chantier a - peine défriché. - - C: Le lien équations aux dérivées partielles/probabilités est clairement un domaine - très important. D'une part la compréhension de l'influence de forces de type bruit - stochastique sur le comportement des solutions reste incomplète, d'autre part, on - peut espérer (au vu de certains résultats préliminaires) qu'une approche probabiliste - de certaines questions d'EDP permettrait d'améliorer les résultats connus a ce jour. - En effet, dans certains cas, les obstructions à la résolubilité sont bien connues et - semblent être des événement rares qui pourraient être traitées par une approche - probabiliste - - D: En relativité générale, on connaît par exemple des solutions particulières - (métrique de Minkowski, de Schwarszchild, de Kerr). Néanmoins, à l'e