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Equations aux dérivées partielles dispersives – Equa-disp

Résumé de soumission

Le sujet central de notre projet est l'étude des propriétés des solutions des équations - aux dérivées partielles dispersives. Cette catégorie représente un grand nombre - d'EDP. Les exemples les plus connus sont les équations des ondes, de Schrödinger, - de Korteweg-deVries, ou de Benjamin-Ono. Toutes ces équations ont en commun la - particularité de disperser les ondes. Dans les années 80, avec les travaux de - Ginibre-Velo, Bourgain, Kapitanski, Kato (et d'autres), la mise en évidence de ce type - de propriétés, qui peut être vu (modulo une moyennisation en temps) comme un gain - de régularité, s'est avérée cruciale pour la résolution de ces équations. Alors que les - études autour de ce type d'équations se sont considérablement développées, de - nombreux progrès restent à faire : notre projet peut être divisé en quatre volets. Il est - cependant clair que cette division est un peu arbitraire dans la mesure ou ces quatre - thèmes sont reliés les uns aux autres et où tout progrès dans l'un peut avoir des - répercutions sur un autre thème. - A: Les EDP d'ondes longues dispersives (telles que KdV, Benjamin-Ono, KP,...) sont - des modèles universels pour décrire la dynamique en temps grand de divers - phénomènes compliqués de propagation d'ondes, dans un régime d'ondes longues - faiblement non lineaires. Par example, ce sont des modèles pour les ondes (de - surface ou internes) dans l'eau), les ondes de plasma, les ondes dans les matériaux - ferro-magnétiques, etc... Elles apparaissent aussi comme la limite des ondes - longues (trans-sonique dans le cas de l'équation de Gross Pitaevskii) de l'équation de - Schrödinger non linéaire. Un point important est la justification rigoureuse des - modèles. Un autre point fondamental est la comparaison (via des méthodes BKW) - entre les solutions du système original (après un changement d'échelle approprié) et - les solutions du système modèle, avec des estimations d'erreur correctes. Une autre - question importante aussi bien pour la modélisation que pour des considérations - théoriques est celle de le théorie du contrôle pour ces modèles de longues ondes. - Malgré les avancées récentes, de nombreuses questions restent ouvertes. - Finalement, mentionnons que toutes ces questions ne peuvent ignorer les simulations - numériques qui souvent restent le guide unique pour obtenir des renseignements sur - la dynamique. - B: L'influence de la géométrie du milieu où l'onde se propage est encore très mal - comprise, en particulier pour les équations de type Schrödinger pour lesquelles la - vitesse de propagation devient infinie (et donc pour lesquelles, la géométrie globale du - milieu intervient instantanément) . Les géométries pour lesquelles on dispose de - résultats (relativement) satisfaisants sont très particulières: les tores (travaux de - Bourgain) ou les sphères essentiellement. L'étude des problèmes aux limites pour - ces équations est aussi a peine défrichée: même pour l'équations des ondes, les - résultats dont on dispose sont encore très partiels. Enfin, l'étude des équations - semi-linéaires en présence de non linéarités sur critiques restent un vaste chantier a - peine défriché. - - C: Le lien équations aux dérivées partielles/probabilités est clairement un domaine - très important. D'une part la compréhension de l'influence de forces de type bruit - stochastique sur le comportement des solutions reste incomplète, d'autre part, on - peut espérer (au vu de certains résultats préliminaires) qu'une approche probabiliste - de certaines questions d'EDP permettrait d'améliorer les résultats connus a ce jour. - En effet, dans certains cas, les obstructions à la résolubilité sont bien connues et - semblent être des événement rares qui pourraient être traitées par une approche - probabiliste - - D: En relativité générale, on connaît par exemple des solutions particulières - (métrique de Minkowski, de Schwarszchild, de Kerr). Néanmoins, à l'e

Coordination du projet

Nicolas BURQ (Organisme de recherche)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UNIVERSITE DE PARIS XIII

Aide de l'ANR 220 000 euros
Début et durée du projet scientifique : - 36 Mois

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