Algorithmique des fonctions L – ALGOL

L'objet de ce projet est l'étude des fonctions L en théorie des nombres d'un - point de vue à la fois théorique et algorithmique. Les fonctions L encodent - des informations arithmétiques fines, et apparaissent dans de nombreuses - conjectures de la théorie des nombres. Citons par exemple l'hypothèse de - Riemann, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, les conjectures de Stark, - la conjecture de Bloch-Kato, etc. - - En effet, la plupart des conjectures de théorie des nombres sont issues - d'expérimentations numériques et ont été intensivement vérifiées par des - calculs explicites. Par exemple, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a - été formulée après de très nombreuses expériences ; de nombreuses relations - algébriques entre les polylogarithmes ont été découvertes grace aux - ordinateurs. Les fonctions L et leurs valeurs spéciales ne font pas - exception, mais les outils à disposition et les exemples de calculs - numériques deviennent de plus en plus rares dès qu'on s'éloigne du cas - classique des fonctions L de Dirichlet. - - Notre projet a pour but de developper des algorithmes théoriques et des - outils efficaces pour l'étude et l'expérimentation (de classes convenables) - de fonctions L, de leurs coefficients, de leurs valeurs générales ou - spéciales, et de leurs zéros. Ainsi, par exemple, il n'est pas connu à ce - jour si les invariants de la K-théorie associés conjecturallement aux valeurs - spéciales sont calculables par un modèle de complexité raisonnable, alors que - d'un autre côté, ces valeurs spéciales sont souvent (relativement) faciles à - calculer, et fournissent, du moins conjecturalement, des informations sur ces - invariants. - - Notre ambition n'est pas seulement d'obtenir des résultats théoriques - significatifs, mais aussi de traduire ceux-ci en de nouvelles, ou plus - efficaces, fonctions dans le système PARI/GP qui seront d'un intérêt certain - pour la communauté mathématique dans son ensemble. Un autre but est pour nous - d'établir la théorie algorithmique des nombres comme un thème important de - recherche dans plusieurs laboratoires de mathématiques français. - ...