BLANC - Programme blanc

Interactions complexe/symplectique : géométrie et dynamique. – SYMPLEXE

Résumé de soumission

1. -- contexte scientifique : Les groupes de symétries ont toujours joué un grand rôle en mathématique. Des mathématiciens tels que Lie, Klein et Cartan ont généralisé le concept de symétrie de la version classique à celle qui met en jeux des structures symplectique, holomorphe, de contact etc. Chacun de ces exemples a engendré une géométrie et une dynamique particulière. La géométrie symplectique, issue de la mécanique classique, ainsi que la dynamique hamiltonnienne ont leurs caractéristiques propres. La géométrie complexe, issue quant à elle de la géométrie algébrique, ainsi que la dynamique holomorphe, présentent a priori des aspects bien différents. En 1985, M. Gromov nous a appris tout le profit qu’on peut tirer des structures complexes dans l’étude de la géométrie symplectique ; par la suite, Floer a développé des techniques qui permettent une nouvelle approche de la dynamique hamiltonnienne classique (actions des groupes R ou Z). Indépendamment, des idées remontant à Brouwer et Thurston ont donné lieu à des avancées significatives pour la dynamique des transformations des surfaces. Simultanément, les systèmes dynamiques holomorphes ont bénéficié de progrès étonnants aussi bien en ce qui concerne l’itération d’une transformation que d’un groupe. -- objectifs du projet : Il s’agit de regrouper des experts français dispersés géographiquement avec des compétences variées mais complémentaires autour de problèmes communs précis. Le but est d’unir les méthodes symplectiques, holomorphes et topologiques, notamment pour l’étude des actions de groupes de symétries en petite dimension. 2.- -- description du projet Considérons une structure géométrique g (par exemple une structure symplectique, ou une structure complexe, ou encore le couple formé d’une structure complexe et d’une forme de contact holomorphe). On cherche à comprendre le groupe de symétries de cette structure, noté Isom(g), à la fois d’un point de vue algébrique, géométrique et dynamique : -- quelle est la structure du groupe Isom(g) ? Est-il simple ? Peut-on en comprendre sa cohomologie ? Décrire ses sous-groupes ? Construire des quasi-morphismes ? etc. -- Quels groupes se plongent dans Isom(g) ? Quelle est leur dynamique ? Voici un exemple. Soit G un réseau de SL(n,R), n > 2. Est-il possible de plonger G dans le groupe des homéomorphismes préservant l’aire d’une surface fermée ? On sait depuis peu que la réponse est négative dans le cas particulier où G = SL(n,Z) et si l’on s’intéresse aux difféomorphismes plutôt qu’aux homéomorphismes. Ce résultat est dû à Polterovich d’une part et à Franks et Handel d’autre part. Les techniques employées sont étonnament différentes : homologie de Floer pour le premier ; dynamique topologique, théorie de Nielsen-Thurston et théorie ergodique pour le second. Une de nos ambitions est d’étendre ce résultat pour des réseaux quelconques et des actions par homéomorphismes. -- méthodologie - groupes de travail pour chaque partenaire, réunion semestrielle autour de mini-cours, cours avancés de master 2 et cours accélérés. - accueil des (post-)doctorants : mobilité sur les trois sites, séjour dans des laboratoires étrangers. Notre groupe encadre douze doctorants. - organisation d’un colloque de synthèse type “Etats de la Recherche” - rédaction d’un ouvrage de synthèse sur les actions de groupes en dimension 2. - invitation d’experts étrangers. 3. Résultats escomptés. Nous espérons des projets significatifs sur les sujets suivants : exemples de Kuperberg et flot de Reeb, simplicité des groupes des homéomorphismes de la sphère préservant l’aire, dynamiques de l’équation de Painlevé VI, conjecture de Zimmer ... (voir le projet détaillé). Ces sujets feront sans aucun doute l’objet de thèses originales.

Coordinateur du projet

Patrice LE CALVEZ (UNIVERSITE DE PARIS XIII)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UNIVERSITE DE RENNES I
CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE RHONE-AUVERGNE
UNIVERSITE DE PARIS XIII

Aide de l'ANR 270 000 euros
Début et durée du projet scientifique : - 36 Mois

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