Surfaces, Catégorification et Combinatoire des Algèbres Amassées – SC3A

Fomin et Zelevinsky inventèrent les algèbres amassées au début des années 2000 dans le but de développer une approche combinatoire à l'étude des bases canoniques de Lusztig et Kashiwara et des variétés positives. Leur formalisme trouva rapidement un large champ d'application dépassant les sujets initiaux. Notamment Fomin et Zelevinsky mirent à jour un phénomène de simplification de fractions rationnelles, appelé « phénomène de Laurent », s'appliquant dans de nombreuses situations. Dans l'étude de suites rationnelles définies par récurrence (suite de Gale-Robinson, suites de Somos... ), ce phénomène implique que les suites sont à valeurs entières. Un second exemple remarquable d'application est la démonstration, due à B. Keller, de la conjecture de périodicité de Zamolodchikov.

Les algèbres amassées sont définies par générateurs et relations mais, contrairement aux présentations usuelles, l'ensemble des générateurs et relations n'est pas donné a priori. La donnée de départ est celle d'une « graine initiale » contenant un sous-ensemble relativement petit de générateurs (l'amas initial) et une matrice contenant l'information permettant de reconstruire récursivement l'ensemble des générateurs à partir de l'amas initial, au moyen d'une opération appelée « mutation ».

Depuis les articles fondateurs de Fomin et Zelevinsky, la théorie des algèbres amassées connaît des développements fulgurants dans maintes directions : théorie des représentations de carquois, géométrie de Poisson, systèmes intégrables, polyèdres combinatoires, espaces de Teichmüller, géométrie algébrique (conditions de stabilité, algèbres Calabi-Yau, invariants DT), théorie quantique des champs...

Dans ce projet, nous nous concentrons sur l'étude de connexions entre algèbres amassées et combinatoire géométrique et algébrique ; théorie des représentations ; catégories triangulées et monoïdales ou encore certains systèmes intégrables. Notre objectif est de développer de nouveaux liens entre ces domaines, d'étudier certains liens déjà connus, et d'en déduire de nouvelles applications. Le projet s'articule autour de trois thèmes.

A - L'utilisation combinatoire des surfaces de Riemann : Liens avec certaines catégories triangulées (catégories
amassées supérieures généralisées) et catégories de Frobenius ou avec des objets de nature combinatoire (triangulations
orientées et suites vertes maximales, multitriangulations, pseudotriangulations).

B – La catégorification : Catégorification monoïdale, à l'aide des faisceaux pervers sur les variétés de carquois de
Nakajima. Catégorification additive, via le développement d'une théorie du basculement dans certaines catégories
d'orbites liées aux objets combinatoires cités plus haut.

C – Les applications aux algèbres amassées : construction de bases, études des frises, application pentagramme...
Notre équipe est constituée de mathématiciens et mathématiciennes aux domaines de spécialisation et points de vue
variés, allant de la combinatoire géométrique aux catégories triangulées en passant par les systèmes intégrables et la
théorie des représentations, mais ayant un vif intérêt commun pour les algèbres amassées. Elle regroupe la première
vague de jeunes chercheurs ayant étudié les algèbres amassées en France, au cours de leur doctorat. Plusieurs
collaborations et un groupe de travail ont déjà débuté autour de ce projet.